Published On: Lun, Jun 17th, 2013

¿Cómo de separados están dos grupos de puntos?

Matemáticos de la Universidad de Sevilla han diseñado un método óptimo para calcular cómo están de enredados dos conjuntos de puntos. El algoritmo puede ayudar a conocer la distribución en una zona de centros hospitalarios u oficinas de correos, por ejemplo.

La investigadora de la Universidad de Sevilla Clara Grima

La investigadora Clara Grima y ‘Mati’, la divulgadora de la matemáticas. / US

US
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17 junio 2013 13:45

Miembros del grupo de Matemática Discreta de la Universidad de Sevilla (US) han diseñado un algoritmo para calcular cómo de separados o intrincados están dos colecciones de puntos. Por ejemplo, unos puntos rojos y otros azules, que pueden representar características de elementos de dos conjuntos distintos.

En la práctica, este tipo de operaciones matemáticas son muy útiles a la hora de establecer, por ejemplo, la distribución de servicios como oficinas de correos, farmacias, hospitales, colegios o supermercados en un barrio o zona determinada de una ciudad.

La catedrática de Escuela Universitaria de Matemática Aplicada de la US Clara Grima, una de las autoras, explica que esta investigación presenta “una variación natural del problema de computar todas las intersecciones bicromáticas entre dos conjuntos de segmentos”.

El problema es el siguiente: Dados dos conjuntos R y B (rojo y azul) de n puntos en el plano que define dos conjuntos de segmentos, se presenta otro denominado O, que requiere n2 operaciones. Un algoritmo de espacio resuelve cuántos segmentos de cada color son intersectados por segmentos del otro color.

Los investigadores también demuestran que este problema es del tipo ‘3-Sum’ y proporcionan algunos ejemplos que ilustran las diversas configuraciones puntuales. En teoría de la complejidad computacional, el problema 3-Sum aborda si un determinado conjunto de n números contiene tres elementos que suman cero.

El avance es interesante en problemas de clasificación de objetos y visibilidad

Según los autores, este avance matemático es interesante tanto en problemas de clasificación de objetos, como en problemas de visibilidad.

“Una medida de ello es la siguiente: consideramos todos los segmentos con extremos puntos rojos y todos los segmentos con extremos puntos azules y contamos cuántos de los primeros (y de los segundos) son atravesados por algún segmento del otro color, –dice Grima–. Cuanto mayor sean estos números, más entremezclados están los puntos”.

“Una forma de calcular dichos números sería representando todos los segmentos y después contando las intersecciones, pero ello nos llevaría a un algoritmo que requeriría n⁴ operaciones (que puede llevar mucho tiempo, aún en ordenadores potentes, si el número n es muy alto)”, añade.

La investigadora destaca que han diseñado “un algoritmo que requiere n² operaciones (para comprender la diferencia si n=1.000, n² es un millón y n⁴ un billón), además de probar que el problema es ‘3-Sum-hard’ lo cual viene a demostrar que, en la práctica, nunca se diseñará un algoritmo mejor que n²”. Esto se resume en que el método es óptimo.



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